2 dạng toán về sự biến thiên của hàm số

Có 2 dạng toán về sự biến thiên của hàm số đó là: Xét sự biến thiên của hàm số và dạng toán chứng minh đồng biến, nghịch biến trên một khoảng.

Chúng ta cùng đọc từng dạng với phương pháp giải chung và ví dụ mình họa. Sau đó làm bài tập rèn luyện nhé.

Dạng toán 1: Xét sự biến thiên của hàm số

Phương pháp giải:

  • Tìm miền xác định của hàm số .
  • Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm.
  •  Nếu y'(x) \ge 0 với mọi (y'=0 tại điểm thuộc (a;b) )thì hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
  • Nếu y'(x) \le 0 với mọi (y'=0 tại điểm thuộc (a;b) )thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=\frac{1}{3}x^3+mx^2+(m+6)x-(2m+1) đồng biến trên R

Hướng dẫn giải:

  • Tập xác định D=R
  • Đạo hàm y'=x^2+3mx+m+6
  • Hàm số đồng biến trên R \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x \in R

\Leftrightarrow x^2+3mx+m+6\ge 0

\Leftrightarrow \Delta\le 0 \Leftrightarrow m^2-m-6\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 3

Vậy với \in [-2;3] thì hàm số đã cho đồng biến trên R.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=(m-2)x^3-3x^2-3x+2 luôn nghịch biến trên tập xác định.

Hướng dẫn giải:

  • Tập xác định D=R
  • Đạo hàm y'=3(m-2)x^2-6x-3=3\left[{(m-2)x^2-2x-1}\right]

Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi y'\le 0, \forall x\in R

\Leftrightarrow {(m-2)x^{2}-2x-1}\le 0,\forall x \in R
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-2<0 \\ \Delta'=3+m\le 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m<2 \\ m \le -3 \end{array} \right.
\Leftrightarrowm\le -3.

Kết luận: Giá trị của m phải thỏa mãn yêu cầu bài toán là : m\le -3.

Bài tập rèn luyện:

1. Tìm m để hàm số y=x^3-3x^2+(1+3m)x+3m+4 luôn đồng bến trên tập xác định của hàm số .

2. Tìm m để hàm số y=\frac{x-4+m}{1-x} đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

3. Tìm m để hàm số y=\frac{mx+1}{x+m} nghịch biến trên tập xác định.

Dạng toán 2: Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng

Phương pháp giải:

  • Vẫn dùng các định lí nhận biết tính tăng giảm của hàm số trên một khoảng
  • Bài toán thường dẫn đến một bài toán về tam thức bậc hai
  • Học sinhn cần lưư ý việc so sánh 1 số \alphavới hai nghiệm của f(x)=ax^2+bx+c a\ne 0

+ af(\alpha)<0\Leftrightarrowx_{1}<\alpha<x_2

+ \alpha<x_1<x_2\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}>\alpha \end{array} \right.

+ x_1<x_2<\alpha\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}<\alpha \end{array} \right.

Ví dụ: Cho hàm số y=x^3+(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)

a) Chứng minh rằng hàm số không thể luôn đồng biến .

b) Định m để hàm số đồng biến với x\ge 2

Hướng dẫn giải:

a) Tập xác định D=R

Đạo hàm: y'=3x^2-2(m+1)x-2m^2+3m-2

\Delta'=(m+1)^2+6m^2-9m+6=7(m^2-m+1)>0,\forall m

Điều này cho thấy phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt , suy ra đạo hàm đổi dấu 2 lần . Vậy hàm số không thể luôn luôn đồng biến được.

b) Định m để hàm số đồng biến với x\ge 2

Hàm số đồng biến với x\ge 2\Leftrightarrowy'\ge 0,\forallx\ge 2

Nhưng nếu x_1;x_2 (x_1<x_2) là 2 nghiệm của y'=0 thì bảng xét dấu của y' là ( Học sinh tự lập)

Từ bảng xét dấu: y'\ge 0,\forall x\ge 2\Leftrightarrowx_1<x_2\le 2

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y'(2)\ge 0 \\ \frac{S}{2}<2 \end{array} \right.

…. \Leftrightarrow-2 \le m \le \frac{3}{2}

Vậy hàm số đồng biến với x\ge 2 nếu và chỉ nếu -2 \le m \le \frac{3}{2}

Bài tập rèn luyện:

1. Cho hàm số y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)+2

a) Định m để hàm số đồng biến trong khoảng \left({2;+\infty} \right)

b) Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng \left({-\infty;-1}\right),\left({2;+\infty}\right).

2. Tìm m để hàm số y=x^2(m-x)-m đồng biến trong khoảng (1;2).

Học tốt 365 © 2018 Học Tốt