Khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm

Khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm, đạo hàm trên một khoảng cho trước, các dạng toán thường gặp của đạo hàm, ứng dụng và ý nghĩa hình học của đạo hàm..

1.Khái niệm đạo hàm

Cho hàm số  \displaystyle y = f\left( x \right) , xác định trên khoảng (a;b) và  {{x}_{0}}\in \left( a;b \right)
Giới hạn nều có của  \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}} khi  x\to {{x}_{0}} được gọi là đạo hàm của hàm số  y=f\left( x \right) tại  {{x}_{0}} kí hiệu là  f'\left( {{x}_{0}} \right)

– Nếu đặt số gia biến số :  \Delta x=x-{{x}_{0}}
– Số gia tương ứng của hàm số  \Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)
– Thì đạo hàm của hàm số có thể viết dưới dạng

 f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}

2. Ý nghĩa của đạo hàm

a. Tiếp tuyến của đường cong : cho một đường cong (C) và điểm cố định  {{M}_{0}}\in \left( C \right), một điểm M dịch chuyển trên (C). Khi đó  {{M}_{0}} M là cát tuyến của (C).

– Nếu cát tuyến  {{M}_{0}}M có vị trí giới hạn là  {{M}_{0}}T khi M\to {{M}_{0}} thì  {{M}_{0}}T là tiếp tuyến của đường cong (C) và  {{M}_{0}} là tiếp điểm

b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm : Cho hàm số  y=f\left( x \right) xác định trên (a;b) có đồ thị là đường cong (C) và có đạo hàm tại  {{x}_{0}}\in \left( a;b \right). Khi đó hệ số góc tiếp tuyến của đường cong (C) tại  {{M}_{0}} chính là giá trị đạo hàm của hàm số  f\left( x \right) tại  {{x}_{0}}

3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

– Hàm số  y=f\left( x \right) gọi là có đạo hàm trên đoạn (a;b) nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên đoạn (a;b)

* Các dạng toán thường gặp với chuyên đề đạo hàm
Dạng 1 : Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước

Cho hàm số  y=f\left( x \right) xác định (a;b) và điểm  {{x}_{0}}\in \left( a;b \right) để tìm đạo hàm của hàm số tại  {{x}_{0}}
– Tìm giá trị của hàm số tại  {{x}_{0}}
– Thực hiện biến đổi tìm giới hạn  \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}

Dạng 2 : Tìm đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Để tìm đạo hàm của hàm số trên một khoảng cho trước ta làm như sau :

– Tính  \Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)
– Tìm tỉ số  \frac{\Delta y}{\Delta x}
– Tìm giới hạn  \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x} chính là đạo hàm của hàm số trên khoảng (a;b)

Dạng 3 : Ứng dụng và ý nghĩa hình học của đạo hàm

– Tìm hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong (C): y = f(x) với M, N thuộc (C)

 k=\frac{f\left( {{x}_{M}} \right)-f\left( {{x}_{N}} \right)}{{{x}_{M}}-{{x}_{N}}}
– Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =f(x) tại M  \left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) ,
 y={{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)

Học tốt 365 © 2018 Học Tốt