Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – Giải bài tập sách giáo khoa Toán 11

Loading...
()

Đang tải…

 

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

     Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

     Kí hiệu là d ⊥ (α).

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

     Định lí:

     Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc vói mặt phẳng ấy.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

     Hệ quả:

     Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. Tính chất

– Tính chất 1:

     Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

– Tính chất 2:

     Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

     Mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc cua đường thẳng và mặt phẳng

– Tính chất 1:

     + Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

     + Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

– Tính chất 2: 

     + Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cùng vuông góc với mặt phẳng kia.

     + Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Xem thêm  Hướng dẫn đọc hiểu Viết Bài Làm Văn Số 5:Nghị Luận Văn Học-Ngữ văn 11

– Tính chất 3:

     + Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

     + Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

Định nghĩa

     Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí ba đường vuông góc

     Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

     Định nghĩa

     Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).

      Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 90^{0}.

     Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

     Chú ý:

     Nếu (p là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có:

0^{0}  ≤ φ ≤ 90^{0} .

7. Phương pháp giải toán

      Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau và a, b cùng nằm trong (P).

Xem thêm  Unit 16 The Wonders of the World (E. Language Focus) Trang 185 Sách Giáo Khoa Tiếng Anh 11

     Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng

     Cách 1:

     Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

     Cách 2:

     Dùng định lí ba đường vuông góc.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 trang 104 sách giáo khoa Hình học 11

a) Đúng;                        b) Sai;                  c) Sai;                   d) Sai.

Bài 2 trang 104 sách giáo khoa Hình học 11

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

a) ∆ABC và BCD là hai tam giác cân, chung đáy BC và I là trung điểm của BC.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3 trang 104 sách giáo khoa Hình học 11

Loading...

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

a) Vì SA = SB = SC = SD nên ∆SAC và ∆SBD cân tại S.

   ABCD là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

   Suy ra SO là trung tuyến đồng thời là đường cao của hai tam giác ∆SAC và ∆SBD.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 4 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

a) Vì H là hình chiếu của o trên mp (ABC) nên OH ⊥ (ABC).

=> OH ⊥ BC           (1)

Mà OA ⊥ OB và OA ⊥ OC nên OA ⊥ (OBC).

=> OA ⊥ BC           (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (OAH).

AH ⊂(OAH) nên BC ⊥ AH.

Tương tự ta có AB ⊥ GH.

Vậy H là trực tâm tam giác ABC.

b) Trong mp (ABC), gọi E là giao điểm của AH và BC.

Do đó OH là đường cao của tam giác vuông OAE.

Mặt khác OE lại là đường cao của tam giác vuông OBC.  

Nhận xét:

     Biểu thức này là mở rộng của công thức tính độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông: 

Xem thêm  Đề kiểm tra học kỳ II – Toán 11 – Trường THPT Nguyễn Văn Tăng (2016 – 2017)

Bài 5 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

a) Vì SA = SC, SB = SD nên ∆SAC và ∆SBD là hai tam giác cân tại S. Mà O là trung điểm của AC và BD.

=> SO vừa là trung tuyến vừa là đường cao của ∆SAC và ∆SBD.

=> SO ⊥ AC và SO ⊥ BD. 

Vậy SO ⊥ (ABCD) hay SO ⊥ (α).

b) 

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 6 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

a) Ta có: ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC.

SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD.

Mặt khác SC ⊂ (SAC) nên BD ⊥ SC.

b) Xét tam giác SBD, theo định lí Ta – lét đảo ta có:

 

Bài 7 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

 

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 8 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

a) Lấy một điếm N bất kì thuộc (α). SN là một đường xiên thứ hai còn HN là hình chiếu của SN.

Xét hai tam giác vuông SHM và SHN có SH chung:

Nếu SM = SN                                  

=> ∆SHM = ∆SHN => HM = HN.  

Ngược lại nếu HM = HN thì ∆SHM = ∆SHN => SM = SN.

Xét hai tam giác vuông SHM và SHN có SH chung:

Nếu SN > SM thì:

 Chứng minh tương tự với chiều ngược lại.

Nếu HN > HM thì:

   Như vậy đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

Thấy bài viết hay hãy đánh giá làm động lực cho chúng tôi bạn nhé

Chọn số sao muốn đánh giá

Xếp hạng trung bình / 5. Số lượng đánh giá:

Chưa có đánh giá nào cho bài viết. Bạn hãy đánh giá để làm người đánh giá đầu tiên cho bài viết này

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *