Phép biến hình Phép tịnh tiến – Bài tập Hình Học lớp 11

Loading...
()

Đang tải…

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Ta thường kí hiệu phép biến hình thành F và viết F(M) = M” hay M” = F(M), khi đó điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

Nếu H là một hình nào đó trong hai mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’, hay H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.

Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta có thể chứng minh: Với điểm M tùy ý thuộc H thì F(M) ∈ H’ và với mỗi M’ thuộc H’ thì có M ∈ H sao cho F(M) = M’.

Phép biến hình biến mỗi đểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

Định nghĩa

Phép biến hình phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng cho vectơ vec{v}. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho overrightarrow{MM'} = vec{v} được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ vec{v} (h.1.1).

Phép tịnh tiến theo vec{v} thường được kí hiệu là T_{vec{v}}.

Nhận xét: Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x; y) và vectơ vec{v}(a; b). Gọi điểm M'(x’; y’) = T_{vec{v}}(M).

Phép biến hình phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến

1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;

2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;

3) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho ;

4) Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho ;

5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Xác định ảnh của một hình qua một phép tịnh tiến

1. Phương pháp giải

Dùng định nghĩa hoặc biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{AD}.

Xem thêm  Bài tập Hình học Oxy về điểm – Toán 11

Giải

Phép biến hình phép tịnh tiến

overrightarrow{BC}overrightarrow{AD} nên phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{AD} biến điểm A thành điểm D, biến điểm B thành điểm C (h. 1.2). Để tìm ảnh củạ điểm C ta dựng hình bình hành ADEC.

Khi đó ảnh của điểm C là điểm E. Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{AD} là tam giác DCE.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vec{v} = (- 2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x – 5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến T_{vec{v}}.

Giải 

Cách 1. Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M = (-1 ; 0). Khi đó M’ = T_{vec{v}}(M) = (-1 – 2 ;0 + 3) = (-3 ; 3) thuộc d’. Vì d’ song song với d nên phương trình của nó có dạng 3x – 5y + C = 0. Do M’ ∈ d’ nên 3(-3) –  5. 3  + C =  0. Từ đó suy ra C = 24. Vậy phương trình của d’ là 3x – 5y + 24 = 0.

Phép biến hình phép tịnh tiến

y = y’ – 3. Thay vào phương trình của d ta được 3(x’ + 2) – 5(y’ – 3) + 3 = 0, hay 3x’ – 5y’ + 24 = 0. Vậy phương trình của d’ là : 3x-5y + 24 = 0.

Cách 3. Ta cũng có thể lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, tìm toạ độ các ảnh M’, N’ tương ứng của chúng qua T_{vec{v}}. Khi đó d’ là đường thẳng M’N’

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình

x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0

Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ vec{v} = (-2 ; 3).

Giải

Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm I(1; -2), bán kính r = 3. Gọi I’ = T_{vec{v}}(I) = (1    – 2; – 2 + 3) = (-1 ; 1) và (C’) là ảnh của (C) qua T_{vec{v}} thì (C’) là đường tròn tâm /’ bán kính r = 3. Do đó (C’) có phương trình

(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 9

Phép biến hình phép tịnh tiến

Thay vào phương trình của (C) ta được

Loading...

(x' + 2)^2 + (y' - 3)^2 - 2(x' + 2) + 4(y' - 3) - 4 = 0

x'^2 + y'^2 + (y' - 1)^2 = 9

Do đó (C’) có phương trình : (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 9

Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán dựng hình.

Xem thêm  Đề kiểm tra HKII – Toán 11 – Trường THPT Nguyễn Văn Côn (2016 – 2017)

1. Phương pháp giải

Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem điểm M như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép tịnh tiến.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-1 ; -1), B( 3 ; 1), C(2 ; 3). Um toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giải

Xem điểm D(x ; y) là ảnh của điểm c qua phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{BA} = (-4 ; -2). Từ đó suy ra x = 2- 4 = -2; y = 3 – 2 = 1.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và dị cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song song hoặc trùng với d (hay d_1). Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên dị để tứ giác ABMM’ là hình bình hành.

Giải

Phép biến hình phép tịnh tiến

Xem điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{BA} (h.1.3).

Khi đó điểm M’ vừa thuộc d_1 vừa thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{BA} . Từ đó suy ra cách dựng :

  • Dựng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{BA} .
  • Dựng M’ = d_1 ∩ d’
  • Dựng điểm M là ảnh của điểm M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow{AB}.

Dễ thấy tứ giác ABMM’ chính là hình bình hành thoả mãn yêu cầu của đầu bài.

Dùng phép tịnh tiến để giải một số bải toán tìm tập hợp điểm

1. Phương pháp giải

Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép tịnh tiến.

2. Ví dụ

Phép biến hình phép tịnh tiến

Ví dụ. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.

Giải

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Vì widehat{BCD} = 90°, nên DC // AH (h.1.4). Tương tự AD // CH. Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành. Từ đó suy ra

Xem thêm  Unit 7 Further Education (Phần IV, V, VI) – Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh 11

overrightarrow{AH} = overrightarrow{DC} = 2overrightarrow{OM}. Ta thấy rằng overrightarrow{OM} không đổi, nên có thể xem H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ 2overrightarrow{OM}. Do đó khi điểm A di động trên đường tròn (O) thì H di động trên đường tròn (O) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ 2overrightarrow{OM}.

1.1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vec{v} = (2 ; -1), điểm M = (3 ; 2). Tìm toạ độ của các điểm A sao cho :

a) A = T_{vec{v}}(M);

b) M = T_{vec{v}}(A).

1.2. Trong mặt phẳng Oxy cho vec{v} = (-2 ; 1), đường thẳng d có phương trình

2x – 3y + 3 = 0, đường thẳng d_1 có phương trình 2x – 3y – 5 = 0.

a) Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua T_{vec{v}}.

b) Tìm toạ độ của vec{w} có giá vuông góc với đường thẳng d để d_1 là ảnh của d qua T_{vec{w}}.

1.3. Trong mặt phẳng Oxỵ cho đường thẳng d có phương trình 3x – ỵ – 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc toạ độ và viết phương trình đường thẳng d’.

1.4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ vec{v} = (-2 ; 5).

1.5. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).

Thấy bài viết hay hãy đánh giá làm động lực cho chúng tôi bạn nhé

Chọn số sao muốn đánh giá

Xếp hạng trung bình / 5. Số lượng đánh giá:

Chưa có đánh giá nào cho bài viết. Bạn hãy đánh giá để làm người đánh giá đầu tiên cho bài viết này

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *