Vectơ trong không gian – Giải bài tập sách giáo khoa Toán 11

Loading...
()

Đang tải…

 

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

     Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

     Kí hiệu overrightarrow{AB} chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là overrightarrow{a}, overrightarrow{b}, overrightarrow{x}, overrightarrow{y},…

2. Các quy tắc về vectơ trong không gian

     Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

     Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giống như phép cộng, vectơ trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng các quy tắc về vectơ như trong hình học phẳng.

– Quy tắc ba điểm: overrightarrow{AC} – overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC}. Hoặc overrightarrow{AC}overrightarrow{BC}overrightarrow{BA}.

– Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD: overrightarrow{AC}overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD}.

– Quy tắc trung tuyến: AM là đường trung tuyến của tam giác ABC thì:

overrightarrow{AM} = frac{1}{2} (overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}).

– Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác ABC thì:

overrightarrow{GA}overrightarrow{GB}overrightarrow{GC} = 0.

– Quy tắc hình hộp:

Vectơ trong không gian

Nếu hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC’ thì khi đó ta có quy tắc hình hộp như sau:

                   overrightarrow{AB}overrightarrow{AD}overrightarrow{AA'} = overrightarrow{AC'}.

     Phép nhân vectơ với một số

     Trong không gian, tích của vectơ overrightarrow{a} với một số k ≠ 0 là vectơ koverrightarrow{a} được định nghĩa tương tự như trong hình học phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong hình học phẳng.

Xem thêm  Phép quay – Giải bài tập sách giáo khoa Toán 11

3. Sự đồng phang cua các vectơ, điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

     Định nghĩa

     Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

     Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

– Định lí 1:

     Trong không gian, cho hai vectơ overrightarrow{a}overrightarrow{b} không cùng phương và vectơ overrightarrow{c}. Khi đó ba vectơ overrightarrow{a}overrightarrow{b}overrightarrow{c} đồng phẳng khi và chi khi có cặp số m, n sao cho overrightarrow{c} = moverrightarrow{a} + noverrightarrow{b}. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

– Định lí 2:

     Trong không gian, cho ba vectơ không đồng phẳng overrightarrow{a}, overrightarrow{b}, overrightarrow{c}. Khi đó với mọi vectơ overrightarrow{x} ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho overrightarrow{x} = moverrightarrow{a} + noverrightarrow{b} + poverrightarrow{c}. Ngoài ra bộ ba số m, n, p đó là duy nhất.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

 Bài 1 trang 91 sách giáo khoa Hình học 11

a) Những vectơ cùng hướng với overrightarrow{IA} là:

 overrightarrow{IA'}overrightarrow{KB}overrightarrow{KB'}overrightarrow{LC}overrightarrow{LC'}overrightarrow{MD} và overrightarrow{MD'}.

b) Những vectơ cùng hướng với overrightarrow{IA} là:

overrightarrow{KB}overrightarrow{LC} và overrightarrow{MD}.

c) Những vectơ ngược hướng với overrightarrow{IA} là:

 overrightarrow{IA'}overrightarrow{KB'}overrightarrow{LC'} và overrightarrow{MD'}.

Bài 2 trang 91 sách giáo khoa Hình học 11

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có:

Cách 1 :

overrightarrow{AB}overrightarrow{B'C'}overrightarrow{DD'}overrightarrow{AB}overrightarrow{AD} + overrightarrow{AA'} = overrightarrow{AC'}.

Cách 2:

overrightarrow{AB}overrightarrow{B'C'}overrightarrow{DD'}overrightarrow{AB}overrightarrow{BC}overrightarrow{CC'} = overrightarrow{AC'}.

b) Ta có:

overrightarrow{BD} – overrightarrow{D'D} – overrightarrow{B'D'}overrightarrow{BD} + overrightarrow{DD'} + overrightarrow{D'B'} = overrightarrow{BB'}.

c) Ta có:

overrightarrow{AC} + overrightarrow{BA'} + overrightarrow{DB}overrightarrow{C'D} = overrightarrow{AC}overrightarrow{CD'} + overrightarrow{D'B'} + overrightarrow{B'A}overrightarrow{AA} = overrightarrow{0}.

Bài 3 trang 91 sách giáo khoa Hình học 11

Cách I :

Lấy I là tâm cua hình bình hành ABCD.

Xem thêm  Đề kiểm tra học kỳ I môn Vật Lý lớp 11 – Trường THPT Hai Bà Trưng

Khi đó:

overrightarrow{SA}overrightarrow{SC} = 2overrightarrow{SI}overrightarrow{SB}overrightarrow{SD} = 2overrightarrow{SI} => overrightarrow{SA}overrightarrow{SC}overrightarrow{SB}overrightarrow{SD}

Cách 2:

overrightarrow{SA} + overrightarrow{SC} = (overrightarrow{SB} + overrightarrow{BA}) + (overrightarrow{SD} + overrightarrow{DC})

= overrightarrow{SB} + overrightarrow{SD} + (overrightarrow{BA} + DCoverrightarrow{DC}) = overrightarrow{SB} + overrightarrow{SD}.

Bài 4 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Vectơ trong không gian

a) Ta có:

 overrightarrow{MN}overrightarrow{MA}overrightarrow{AD}overrightarrow{DN}

overrightarrow{MN} =overrightarrow{MB}overrightarrow{BC}overrightarrow{CN}

=> 2overrightarrow{MN} = (overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB}) +(overrightarrow{AD} + overrightarrow{BC}) + (overrightarrow{DN} + overrightarrow{CN}) = overrightarrow{AD}overrightarrow{BC}

Suy ra overrightarrow{MN} = frac{1}{2}(overrightarrow{AD} + overrightarrow{BC})

 b) Tương tự câu a)

 overrightarrow{MN}overrightarrow{MA} + overrightarrow{AC}overrightarrow{CN}

overrightarrow{MN}overrightarrow{MB}overrightarrow{BD}overrightarrow{DN}

Loading...

=> 2overrightarrow{MN}overrightarrow{AC} +overrightarrow{BD}

Suy ra overrightarrow{MN} = frac{1}{2}(overrightarrow{AC} + overrightarrow{BD}

Bài 5 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Vectơ trong không gian

a) Gọi G là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABGC.

Ta có: overrightarrow{AE} = overrightarrow{AB}overrightarrow{AC} + overrightarrow{AD}.

Mặt khác (overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}) = overrightarrow{AG}.

 => overrightarrow{AE}overrightarrow{AG}overrightarrow{AD}.

Vậy overrightarrow{AE} = overrightarrow{AG} + overrightarrow{AD} khi E là đỉnh thứ tư của hình bình hành ADEG.

b) Ta có: overrightarrow{AF} = ( overrightarrow{AB}overrightarrow{AC}) – overrightarrow{AD}.

Mặt khác (overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}) = overrightarrow{AG}.

=> overrightarrow{AF}overrightarrow{AG} +overrightarrow{AD} = overrightarrow{DG}.

Vậy overrightarrow{AF} = overrightarrow{AG}overrightarrow{AD} = overrightarrow{DG} khi F là đỉnh thứ tư của hình bình hành ADGF.

Bài 6 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên overrightarrow{GA}overrightarrow{GB}overrightarrow{GC} = overrightarrow{0}.

Ta có:

overrightarrow{DA}overrightarrow{DB}overrightarrow{DC}

= (overrightarrow{DG} + overrightarrow{GA}) + (overrightarrow{DG} + overrightarrow{GB}) + (overrightarrow{DG} + overrightarrow{GC})

= 3overrightarrow{DG} + (overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC}) = 3overrightarrow{DG}.

Bài 7 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

a) Ta có: overrightarrow{IA}overrightarrow{IC} = 2overrightarrow{IM} và overrightarrow{IB}overrightarrow{ID} = 2overrightarrow{IN}.

=> (overrightarrow{IA} +overrightarrow{IC}) + (overrightarrow{IB} + overrightarrow{ID}) = 2(overrightarrow{IM} + overrightarrow{IN}).

overrightarrow{IM} + overrightarrow{IN} = 0.

Suy ra overrightarrow{IA} +overrightarrow{IB} + overrightarrow{IC} + overrightarrow{ID} = overrightarrow{0}.

b) Với điểm P bất kì trong không gian ta có:

 overrightarrow{PA}overrightarrow{AI}overrightarrow{PI}

 overrightarrow{PB}overrightarrow{BI}overrightarrow{PI}

 overrightarrow{PC}overrightarrow{CI}overrightarrow{PI}

 overrightarrow{PD}overrightarrow{DI}overrightarrow{PI}.

Cộng các vế lại ta có:

overrightarrow{PA} +overrightarrow{PB} +overrightarrow{PC}overrightarrow{PD} + (overrightarrow{AI} + overrightarrow{BI} + overrightarrow{CI} + overrightarrow{DI}) =4overrightarrow{}

<=>overrightarrow{PA}overrightarrow{PB}overrightarrow{PC}overrightarrow{PD} -(overrightarrow{IA} + overrightarrow{IB} + overrightarrow{IC} + overrightarrow{ID}) = 4overrightarrow{PI}

<=> overrightarrow{PA}overrightarrow{PB}overrightarrow{PC}overrightarrow{PD} = 4overrightarrow{PI} (vì overrightarrow{IA}overrightarrow{IB}overrightarrow{IC} + overrightarrow{ID} = overrightarrow{0} theo câu a)

<=> overrightarrow{PI} = frac{1}{4}(overrightarrow{PA} + overrightarrow{PB} + overrightarrow{PC} + overrightarrow{PD}).

  Bài 8 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Vectơ trong không gian

Ta có:

overrightarrow{B'C}overrightarrow{AC} –  overrightarrow{AB'}

overrightarrow{AC} – ( overrightarrow{AA'} + overrightarrow{AB}).

<=>  overrightarrow{B'C}overrightarrow{c} –  overrightarrow{a} –  overrightarrow{b}.

overrightarrow{BC'}overrightarrow{AC'} –  overrightarrow{AB}

= ( overrightarrow{AA'} + overrightarrow{AC}) –  overrightarrow{AB}.

<=>  overrightarrow{BC'}overrightarrow{a}overrightarrow{c} –  overrightarrow{b}.

Bài 9 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Ta có:

Xem thêm  Tinh thần thể dục – Nguyễn Công Hoan – Để học tốt Ngữ Văn 11

  overrightarrow{MS}overrightarrow{SC}overrightarrow{CN}overrightarrow{MN}               (1)

overrightarrow{MA}overrightarrow{AB}overrightarrow{BN}overrightarrow{MN}

=> 2 overrightarrow{MA} + 2 overrightarrow{AB} + 2 overrightarrow{BN} = 2 overrightarrow{BN}             (2)

Cộng (1) với (2) ta có:

( overrightarrow{MS} + 2 overrightarrow{MA}) +  overrightarrow{SC} +2 overrightarrow{AB} + ( overrightarrow{CN} + 2overrightarrow{BN}) = 3overrightarrow{MN}

<=>  overrightarrow{0}overrightarrow{SC} + 2overrightarrow{AB}overrightarrow{0} = 3overrightarrow{MN} 

<=>  overrightarrow{SC} + 2 overrightarrow{AB} = 3overrightarrow{MN}

<=>  overrightarrow{MN}  = frac{1}{3}overrightarrow{SC}frac{2}{3}overrightarrow{AB}.

Vì thế ba vectơ  overrightarrow{MN}overrightarrow{SC} và  overrightarrow{AB} đồng phẳng.

Bài 10 trang 92 sách giáo khoa Hình học 11

Vectơ trong không gian

Vì KI // EF // AB nên KI // mp (ABC).

Ta có: FG // BC và AC ⊂ mp (ABC).

Mặt phẳng (α) là một mặt phẳng song song với mp (ABC).

Khi đó ba vectơ KI, FG và AC có giá cùng song song với mặt phẳng (α).

Vậy ba vectơ KI, FG và AC đồng phẳng.

Thấy bài viết hay hãy đánh giá làm động lực cho chúng tôi bạn nhé

Chọn số sao muốn đánh giá

Xếp hạng trung bình / 5. Số lượng đánh giá:

Chưa có đánh giá nào cho bài viết. Bạn hãy đánh giá để làm người đánh giá đầu tiên cho bài viết này

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *